APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS ÁREAS ECONÓMICA E ADMINISTRATIVA

Antes de mais nada precisamos de alguns conceitos que teremos que lidar com eles nesta caminhada. Os conceitos de que referimos não são desta cadeira mas sim são tratados nesta no ponto de vista meramente matemático, por isso não vamos aprofundar. Aliás recomendamos ao estudante que consulte literatura diversa incluindo os livros de S. T. Tan e Afrânio Murolo/ Giácomo Bonetto denominados Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade, e mesmo aos Docentes das cadeiras de Economia.
Aqui apenas nos vamos limitar em fornecer uma lista deles:
Função Custo – C (q);
Função Custo Médio – Cme (q)==;
Função Custo Marginal – C’ (q)=;
Função Custo Médio Marginal – C'me(q)==[]´;
Função Receita – R (q) = p.q = p. f (q) se p = f (q) – equação da demanda (preço) do produto e q quantidade demandada ou ofertada;
Função Receita Marginal – R’ (q);
Função Lucro – P (q) = L (q) = π (q);
Função Lucro Marginal – P' (q) = L' (q) = π' (q);
Elasticidade da demanda – E (p);
Propensão Marginal a consumir e a poupar.
Elasticidade
Elasticidade – Preço da demanda
Sabemos que, em relação aos consumidores, a demanda de um produto pode ser associada a seu preço. Em geral, se o preço aumenta, a demanda diminui.
Para produtos diferentes, existem diferentes comportamentos de mudança da demanda em relação às variações de preços. Por exemplo, se houver um considerável aumento no preço de sal, a demanda dos consumidores praticamente não se altera, uma vez que tal produto é indespensável e tem pouco peso no orçamento doméstico; entretanto, se houver um considerável aumento no preço da carne bovina, a demanda se alterará, uma vez que tal produto pode ser substituído por outros tipos de carnes, além de ter grande peso no orçamento doméstico.
Assim, de maneiras diferenciadas, a demanda por um produto é " sensível" à mudança dos preços. Avaliaremos a "sensibilidade" da demanda em relação às mudanças de preços com o auxílio do conceito elasticidade – preço da demanda. Neste contexto, medir a "elasticiddade" da demanda significa medir a "sensibilidade" da demanda em relação à variação do preço.
Definição:
Elasticidade da demanda
Se f é uma função demanda diferenciável definida por x = f (p), então a Elasticidade da demanda para o preço p é dada por
Classificação da Elasticidade – Preço da demanda:
Se E(p) < 1, então a demanda é inelástica em relação ao preço.
Se E(p) > 1, então a demanda é elástca em relação ao preço.
Se E(p) = 1, então a demanda elasticidade unitária em relação ao preço.
Podemos descrever a maneira pelo qual a receita reage a variações no preço unitário usando a noção de elasticidade
Se a demanda é inelástica em p ( E (p) < 1), então um pequeno aumento do preço unitário resulta em um aumento da receita, ao passo que uma diminuição do preço unitário irá causar um decréscimo da receita.
Se a demanda é elástica em p( E (p) > 1), então um pequeno aumento do preço unitário resulta em uma diminuição da receita, ao passo que um pequeno decréscimo do preço unitário irá causar um aumento da receita.
Se a demanda é unitário em p ( E(p) = 1), então um aumento do preço unitário não produz nenhuma variação da receita.
Aplicações:
A Gerência da Companhia Acrosinic planeja lançar no mercado o sistema Electro-Stat, um sistema de caixas de som electrostáticas. A divisão de marketing determinou que a demanda destes sistemas é de:
p = - 0,04x + 800 ( onde p denota o preço unitário ( em dólares ) do sistema e x denota a quantidade demandada.
a) Determine a função receita R.
b) Determine a função receita marginal R' .
c) Calcule R'(5000) e interprete seus resultados.

Reporte-se a aplicação 1. A divisão de produção da Companhia Acrosinic estima que o custo total (em dólares) envolvido na fabricação de x sistemas Electro-Stat no primeiro ano de produção será de:
C (x) = 200x + 300.000
a) Determine a função lucro P.
b) Determine a função lucro marginal P' .
c) Calcule P'(5000) e P'(8000).
d) Esboce o gráfico da função lucro e interprete seus resultados.
A demanda semanal por videocassetes Pulsar é dada pela equação de demanda
p = - 0,02x +300 onde p denota o preço unitário por atacado em dólares e x denota a quantidade demandada. A função custo total semanal associada com a produção dos videocassetes é de
C (x) = 0,000003x3 – 0,04x2 + 200x + 70.000 dólares
a) Determine a função receita R e a função lucro P.
b) Determine a função custo marginal C' ( x ) , a função receita marginal R' e a função lucro marginal P'.
c) Determine a função custo médio marginal .
d) Calcule C' ( x = 3000 ), R' ( x = 3000 ) e P' ( x = 3000 ) e interprete seus resultados.
e) Determine se a demanda é inelástica, elástica ou unitária quando p = 100 e quando p = 200

Propensão Marginal a Consumir e a Poupar
Ao analisar o comportamento da economia em um mercado, percebe-se que a renda das famílias é o factor que mais influencia no consumo e na poupança dessas famílias. Nesse sentido, para nossas análises, iremos supor o consumo c como função da renda y, c = f (y), e a poupança s como função da renda y, s = f (y). Tais funções são crescentes, pois se supõe que o aumento da renda resulta em aumentos no consumo e na poupança.
De modo simplificado, podemos dizer que, para as famílias, o consumo somado à poupança se iguala à renda, ou seja, Renda = Consumo + Poupança ou y = c + s
Naturalmente, temos que a poupança das famílias é dada pela diferença entre a renda e consumo, ou seja, Poupança = Renda – Consumo ou s = y – c
Como o consumo c é função da renda y, é comum analisar a variação no consumo correspondente à variação da renda; em outras palavras, a taxa de variação do consumo em relação à renda; de modo prático, a derivada do consumo em relação à renda. Tal derivada também é conhecida como Propensão Marginal a Consumir, que mede em quanto aumenta o consumo quando há o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando c = f (y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propensão Marginal a Consumir:
cmg = c'(y) =
De modo análogo, a poupança s é a função da renda y e é comum analisar a variação na poupança correspondente à variação da renda; em outras palavras, a taxa de variação da poupança em relação à renda; de modo prático, a derivada da poupança em relação à renda. Tal taxa também é conhecida como Propensão Marginal a Poupar, que mede em quanto aumenta a poupança quanto há o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando s = f(y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propensão Marginal a poupar:
smg = s'(y) = .
Vimos que y = c + s e, nessa expressão, derivando em relação a y, temos ou seja, a soma da Propensão Marginal a Consumir com a Propensão Marginal a Poupar resulta em 1:
cmg + smg = 1

Como as funções c e s são crescentes, as derivadas indicadas são positivas, assim temos 0 < < 1 e
0 < < 1, com ou , ou seja,
cmg = 1- smg ou smg =1- cmg ( onde 0 < cmg < 1 e 0 < smg < 1 )
De um modo geral, costumamos utilizar funções de primeiro grau para expressar as funções do consumo e da poupança.
Aplicações:
Para uma certa população, a função do consumo é dada por c = 0,7y + 210, onde y é a renda dos consumidores.
Determine a função poupança s.
Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Marginal a Poupar e interprete seus resultados.
Esboce o gráfico da função c = y. O que tal gráfico representa?
Esboce, sobrepostos, os gráficos das funções consumo, poupança e c = y, interpretando o ponto em que o gráfico do consumo encontra a recta c = y.
A função consumo da economia americana de 1929 a 1941 é igual c(y) = 0,712y + 95,05 onde c(y) é a dotação pessoal para o consumo e y é a renda pessoal, ambas medidas em biliões de dólares. Determine a Propensão Marginal ao Consumo.
Reporte-se ao 2. Determine a Propensão Marginal à Poupança.

Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas
Diferenciação Implícita
Até agora escrevemos a maior parte das funções por meio da notação y = f(y), ou seja, expressando a variável y explicitamente em função da variável x, como, por exemplo:
y = 100x2 + 10x; y = 4x3 – 10x2 + 30x +50; e y =
Contamos às vezes com situações em que a relação entre as variáveis x e y é definidas implicitamente, por exemplo:
50x2 – 10y = 30; -10x +2y = 4; e x2 + y2 = 4
Nesses exemplos, em que a função é dada na forma implícita, dizemos que y é uma função implícita de x e, para cada caso anterior, podemos explicitar a variável y em função de x simplesmente "isolando" a variável y:
50x2 – 10y = 30-10y = 30 - 50x2 y = y = -3 + 5x2
-10x + 2y = 4 2y = 4 +10xy = y = 2 + 5x
x2 + y2 = 4 y2 = 4 – x2y = ± ou y = + e y = -
Quando uma função tem y e x escritos de forma explícita, obtemos a derivada usando técnicas de derivação.
Entretanto, existem funções expressas na forma implícita, cuja determinação da forma explícita é muito complicada como, por exemplo:
x2 + xy – y = xy2 ; 2y5 + 2x2y2 + 20x4 = 25 e x2y + xy2 = 10x
Para tais relações, se desejamos obter suas derivadas, devemos usar a técnica de derivação implícita. Exemplificaremos tal técnica a seguir, ressaltando a utilização de regras já estudadas, como a regra do produto e a regra de cadeia.
A técnica de derivação implícita, Consiste em:
Deriva ambos os membros da equação com relação a x,
Resolva a equação resultante para = y' em termo de x e y.




Exemplo: Determone a derivada de y3 = x
Solução: Buscamos y', ou seja, . Primeiramente, obtemos a derivada com respeito a x nos dois lados da expressão y3 = x.
y3 = x
Como y é uma função ( implícita ) de x, temos que y3 é uma função composta.
Para derivar y3, utilizamos a regra da cadeia, ou seja,
, onde 3y2 representa a "derivada da função de fora" e representa a "derivada da função de dentro".
Assim, para, obtemos
Aplicações:
1. Encontre = y' por diferenciação implícita para cada item a seguir:
a) y4 = x b) x2 + y2 = 16 c) x2 – y 2 = 1 d) e)
2. Dada a equação y3 – xy = 3, pede-se:
Encontre por derivação implícita = y' .
Encontre a equação da recta tangente a y3 – xy = 3 no ponto ( 8 ; 3 ).
3. Dada a função demanda p + q2 = 64, onde p é o preço ( em Mt ) e q é a quantidade demandada ( em unidades ), determine:
a) .
b) Para q = 6 (unidades) e p = 28 (Mt), calcule e interprete .

Taxas Relacionadas
A diferenciação implícita é uma técnica útil para resolver uma classe de problemas conhecida por problemas de Taxas Relacionadas. Por exemplo, suponha que x e y sejam funções de uma terceira variável t. Neste caso, x pode denotar a taxa de financiamento de um imóvel e y um número de casas vendidas em qualquer instante de tempo t. Além disso, suponha que tenhamos uma equação que forneça a relação entre x e y ( o número de casas vendidas y está relacionado com a taxa de financiamento x ). Diferenciando ambos os lados desta equação implicitamente com relação t, obtemos uma equação que fornece a relação entre . No contexto do nosso exemplo, esta equação nos fornece uma relação entre a variação da taxa de financiamento e a taxa de variação do número de casas vendidas, como uma função do tempo. Assim, conhecendo
(A rapidez com a qual a taxa de financiamento varia no tempo t)
Podemos determinar
(A rapidez com a qual o número de casas vendidas varia em cada instante de tempo t)

Exemplo:
Um estudo elaborado pelo Ministério das Obras Públicas e Habitação estima que o número de novas construções na região Norte de Moçambique, N(t) ( em milhões ), nos próximos 5 anos está relacionado com a taxa de financiamento r(t) ( por cento ao ano ) através da equação 9N2 + r = 36.
Qual a taxa de variação no tempo do número de novas construções quando a taxa de financiamento é de 11% ao ano e aumenta à razão de 1,5% ao ano?


Solução:
Dados - r = 11 e e P ede-se =?
Resolução: Inicialmente, substituindo r = 11 na equação dada, encontramos
9N2 + r = 36 N2 = ou seja, N= ( não consideramos a raiz negativa ).
Em seguida, derivamos ambos os membros da equação dada implicitamente com relação a t, obtemos
Então, substituindo N= e nesta equação obtemos
Resolvendo esta equação para encontramos
No instante considerado, as novas construções estão diminuindo a uma razão de 50.000 unidades por ano.
Diretrizes para resolver problemas de taxas relacionadas:
Associe uma variável a cada quantidade. Desenhe um diagrama, se necessário.
Escreva os valores dados das variáveis e suas taxas de variação com relação a t.
Determine uma equação fornecendo a relação entre sa variáveis.
Diferencie ambos os lados desta equação implicitamente com relação a t.
Substitua as variáveis e suas derivadas pelos dados numéricos do Passo 2 e resolva a equação para a taxa de variação pedida.
Aplicações:
Um grande fabricante de fitas de áudio está disposto a colocar no mercado x milhares de pacotes com dez fitas por semana quando o preço por atacado é de $p por pacote. Sabe-se que a relação entre x e p é dada pela equação de oferta x2 – 3xp + p2 = 5. Com que rapidez a oferta de fitas estará mudando quando o preço por pacote for de $11, a quantidade ofertada for de 4000 pacotes e o preço por atacado de cada pacote aumentar a uma razão de 10 centavos por pacote por semana?
Suponha que a quantidade semanal demandada dos pneus radiais Super Titan está relacionada com seu preço unitário através da equação p + x2 = 144, onde p está medido em dólares e x medido em milhares. Com que rapidez a quantidade demandada varia quando x = 9, p = 63 e o preço do pneu aumenta a uma razão de $2/semana.
Suponha que o preço por atacado p de uma certa marca de ovos (preço da caixa em meticais) está relacionado com a oferta semanal x (milhares de caixas) pela equação 625p2 – x2 = 100. Se no início de uma certa semana 25.000 caixas de ovos são oferecidas e se o preço está caindo a uma razão de 2 centavos/ caixas/ semana, com que razão a oferta está diminuindo?